COMP5416 Tutorial 1 题解：无线信道竞争的博弈均衡

课程：COMP5416 / COMP4416 — Advanced Network Technologies 来源：T1 tutorial.pdf（COMP 5416/4416 Week 1） 前置：Week 1 讲课总结 第四节的博弈论分析

两道题都是 Week 1 那个「两用户共享一个无线信道」模型的变体：Exercise 1 只改数值，Exercise 2 改成非对称。 所有结果都用程序验算过。

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Exercise 1：改了收益之后的均衡

题目

沿用讲义里的模型（两个用户、一个 access point、同时发就碰撞），但把收益表改成：

(1, 2) utility	1: Transmit	1: Keep silent
2: Transmit	(−5, −5)	(0, 15)
2: Keep silent	(15, 0)	(0, 0)

要求重新计算：(1) 均衡时的发送概率（不允许纯策略）、(2) 均衡时的平均效用。

📌 和讲义的唯一区别：成功发送的收益从 10 变成 15，碰撞代价仍是 −5。

(1) 均衡发送概率

设用户 1 以概率 发送，用户 2 以概率 发送。用户 1 的期望效用：

后两项为 0，按 整理（这是解这类题的关键一步）：

混合策略均衡的条件是：对手的策略让我对自己的选择完全无差异，也就是 的系数为零：

由对称性，，同理得 。

⭐ 所以均衡发送概率是 。

(2) 均衡平均效用

把 代回：

与 无关——这正是混合均衡的定义：无论我怎么调整自己的概率，效用都不变，所以没有偏离的动机。由对称性 。

⭐ 均衡效用 。

⭐ 一般化：不必每次重算

设成功收益为 、碰撞代价为 （本题 ；讲义 ）：

量	公式	讲义	本题
均衡发送概率
均衡效用		0	0
合作最优概率
合作最优效用（每人）

⭐ 两个值得记住的结论： 1. 合作最优的发送概率永远是均衡概率的一半（）。 2. 自私均衡的效用恒为 0，与 无关——收益再高也白搭，全被碰撞吃掉了。

合作最优的推导（对称取 ）：

本题代入 ：。

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Exercise 2：非对称竞争

题目

两个用户共享无线信道，每个时隙选择发送或沉默。收益不再对称：

情况	user 1	user 2
只有 user 1 发送	+20	0
只有 user 2 发送	0	+12
都发送（碰撞）	−4	−6
都不发送	0	0

写成收益矩阵：

(1, 2) utility	1: Transmit	1: Keep silent
2: Transmit	(−4, −6)	(0, 12)
2: Keep silent	(20, 0)	(0, 0)

(1) 期望效用

📌 注意两式的结构： 是 的线性函数，斜率由 决定（反之亦然）。这就是为什么最佳响应一定是"全发"或"全不发"，除非斜率恰好为 0。

(2) 最佳响应策略

因为 对 线性，最优解只可能在端点或全区间无差异：

User 1 的最佳响应（看 的符号）：

User 2 的最佳响应（看 的符号）：

直觉：只要对手发得不够频繁，我就该一直发；对手发得太频繁，我就干脆闭嘴让他去。阈值 和 分别是"发送收益 / (发送收益 + 碰撞代价)"：，。

(3) 全部纯策略均衡 + 混合均衡

逐格检验纯策略（Nash 均衡 = 双方都无法单方面改善）：

策略组合		是否 NE	理由
(T, S)	(20, 0)	✅	1 改沉默 → 20→0 变差；2 改发送 → 0→−6 变差
(S, T)	(0, 12)	✅	1 改发送 → 0→−4 变差；2 改沉默 → 12→0 变差
(T, T)	(−4, −6)	❌	任一方改沉默即从负数升到 0
(S, S)	(0, 0)	❌	任一方改发送即从 0 升到正收益

⭐ 两个纯策略 NE： 和 。

混合策略均衡：双方都随机化时，各自必须让对手无差异：

代回得效用：

⭐ 混合 NE：，效用 。

⭐⭐ 这里有个非常反直觉、也最容易考的点： 我的均衡概率 是由「对手的收益」决定的，不是我自己的。 来自 user 2 的收益 ； 来自 user 1 的收益 。 原因：混合均衡要求我的策略让对手无差异，所以我的概率必须去平衡对手的收益结构。

(4) 哪个均衡的社会福利最高

社会福利 ：

均衡
⭐ (T, S) — 只有 user 1 发	(20, 0)	20
(S, T) — 只有 user 2 发	(0, 12)	12
混合	(0, 0)	0

⭐ 社会福利最大的是 ，即「让收益更高的 user 1 独占信道」，。

验证这确实是全局最优： 是双线性函数，最大值必在四个角点取到：

最大值确实是 。

📌 这题的现实含义：从系统总吞吐看，最好的安排是把信道分配给价值更高的用户（调度）。但这个方案对 user 2 完全不公平（他拿 0），而且没有中央调度者的话根本达不成——两个自私用户只会落到混合均衡，双双拿 0。 这正好呼应 Week 1 讲的：cellular network 可以公平调度，而无中心的场景只能靠随机化协议。

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三道题的对照

	Exercise 1（对称）	Exercise 2（非对称）
纯策略 NE	(T,S) 和 (S,T)，效用 (15,0) / (0,15)	(T,S) 和 (S,T)，效用 (20,0) / (0,12)
混合 NE 概率	（自己的收益决定）	（对手的收益决定）
混合 NE 效用	(0, 0)	(0, 0)
社会福利最优	合作 ，每人	纯策略 (T,S)，

⭐ 贯穿三题的结论：混合策略纳什均衡的效用恒为 0。 自私用户各自最优化的结果，是把所有正收益都碰撞掉。要拿到正收益，要么协作降低发送概率（对称情形），要么由调度器分配信道（非对称情形）。

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考点重点

1. ⭐ 解题套路：写出期望效用 → 按自己的概率整理成 → 令系数为 0 解出对手的均衡概率。
2. ⭐ 混合均衡的定义：让对手无差异。所以 由 user 2 的收益决定， 由 user 1 的收益决定。
3. 最佳响应是阈值型的：因为 对 线性，非 0 即 1，只有恰在阈值时才任意。阈值 。
4. 纯策略 NE 要逐格验证：检查双方能否单方面改善。 和 永远不是 NE。
5. ⭐ 一般化公式（对称情形）：，，合作效用 。
6. 社会福利用双线性性质求解： 是 的双线性函数，最优必在角点，直接比较四个角即可。
7. 混合均衡效用恒为 0 —— 这是最该记住的一条。